Définition et cas d'une fonction scalaire

Considérons un milieu continu qui occupe à l'instant t le volume $\Omega_t$. Ayant choisi un référentiel et un repère, on décrit le mouvement de ce milieu, en représentation eulérienne, en prenant comme paramètres la position $\underline{x}$ et le temps t. Supposons que sur $\Omega_t$ soit défini un champ scalaire $h(\underline{x}, t)$, dont des exemples élémentaires sont la masse volumique et la température. On va maintenant examiner comment un tel champ peut être dérivé par rapport au temps.

Un premier point de vue est de fixer le point géométrique $\underline{x} \,$; la dérivée de h par rapport au temps est alors se dérivée partielle $\frac{\partial h}{\partial t}$. Si cette dérivée est nulle en tout point $\underline{x} \,$, le champ de la grandeur h est toujours le même. Par exemple dans un écoulement stationnaire, la dérivée partielle de la masse volumique par rapport au temps est partout nulle.

Un second point de vue est de considérer que la grandeur h n'est pas attachée à un point géométrique, mais à une particule matérielle. C'est celui généralement adopté en mécanique des milieux continus. On définit ainsi la dérivée particulaire de la grandeur $h(\underline{x}, t)$ :

La dérivée particulaire de la grandeur $h(\underline{x}, t)$ au point $\underline{x}$, à l'instant t, est la dérivée par rapport au temps de la grandeur h attachée à la particule qui coïncide avec le point $\underline{x}$ à l'instant t. On la note $\frac{d h}{dt}$ ou $\dot{h}$.

Pour calculer cette dérivée, on écrit donc :  

$$\underline{x}=\phi(\underline{X}, t)$$ (1)

que l'on reporte dans $h(\underline{x}, t)$, puis on dérive par rapport au temps à $\underline{X}$ fixé. On a donc :  

$$\dot{h}=\frac{dh}{dt}=\frac{\partial h}{\partial t}(\underl... ...{grad}\, h(\underline{x}, t). \frac{\partial \phi}{\partial t}$$ (2)

le gradient étant pris par rapport aux coordonnées $\underline{x}$. On obtient ainsi finalement :  

$$\dot{h}=\frac{\partial h}{\partial t}(\underline{x}, t)+\un... ...rad}\, h(\underline{x}, t).\, \underline{U}(\underline{x}, t).$$ (3)

On pouvait d'ailleurs se passer de l'intermédiaire de calcul 1.2 en remarquant que la vitesse est la dérivée particulaire de la position :  

$$\underline{U}(\underline{x}, t)=\frac{d \underline{x}}{d t}= \dot{\underline{x}}$$ (4)