Dérivée particulaire d'un vecteur élémentaire

Considérons à l'instant t un petit vecteur $\underline{d M}$ attaché au point M de coordonnées $\underline{x}$. On calcule la dérivée particulaire de ce petit vecteur en le considérant comme suivant le mouvement des particules qui le constituent à l'instant t. C'est pourquoi on parle parfois de dérivée ``en suivant le mouvement du système''. Comme :  

$$\underline{d M}= (\underline{x}+ d \underline{x})-\underline{x}$$ (5)

On a :  

$$\dot{\underline{\overline{dM}}}=\frac{d}{dt}(\underline{x}+... ...erline{x}+ d \underline{x}, t)-\underline{U}(\underline{x}, t)$$ (6)

Soit :  

$$\dot{\underline{\overline{dM}}}=\underline{\underline{grad}}\, \underline{U} (\underline{x}, t). \, \underline{d M}$$ (7)

La transformation $\underline{d M} \rightarrow \dot{\underline{\overline{dM}}}$ est donc l'endomorphisme de $\mathbb {R} ^3$ associé au tenseur gradient de la vitesse.