Dérivée particulaire d'un volume élémentaire

Nous savons déjà qu'un volume élémentaire de matière $d \Omega_t$ à l'instant t est lié au volume initial $d \Omega_0$ occupé par les mêmes particules dans la configuration de référence par la relation :  

$$d \Omega_t= J d \Omega_0$$ (8)

où $J(\underline{X}, t)$ désigne le Jacobien de la transformation faisant passer de la configuration de référence à la configuration actuelle. On en déduit l'expression lagrangienne de la dérivée particulaire du volume élémentaire :

 

$$\dot{\overline{d \Omega_t}}= \dot{J} d \Omega_0= \frac{\par... ... t}(\underline{X}, t) d \Omega_0= \frac{\dot{J}}{J} d \Omega_t$$ (9)

Nous voulons maintenant obtenir une expression eulérienne de cette même dérivée. La relation 1.9 montre que le coefficient de proportionnalité entre l'élément de volume $d \Omega_t$ et sa dérivée particulaire ne dépend pas de la forme de cet élément, mais seulement du point où on effectue le calcul. Considérons donc, en $\underline{x}$, à l'instant t, le volume engendré par les vecteurs directeurs $\underline{e_1}$, $\underline{e_2}$, $\underline{e_3}$ d'un trièdre cartésien orthonormé. $d \Omega_t$ est donc égal au produit mixte de ces vecteurs :  

$$d \Omega_t =(\underline{e_1}, \underline{e_2}, \underline{e_3})=1$$ (10)

Alors :  

$$\dot{\overline{d \Omega_t}} =(\dot{\underline{e_1}}, \under... ...3})+ (\underline{e_1}, \underline{e_2}, \dot{\underline{e_3}})$$ (11)

où $\dot{\underline{e_i}}$ désigne la dérivée particulaire de $\underline{e_i}$, c'est-à-dire celle du vecteur matériel qui coïncide avec $\underline{e_i}$ à l'instant t, et qui n'a aucune raison de rester unitaire. D'après la relation 1.7 :  

$$\dot{\underline{e_i}}=\underline{\underline{grad}}\, \under... ...rline{e_i}= \frac{\partial U_j}{\partial x_i}\, \underline{e_j}$$ (12)

dans le repère ($\underline{e_1}$, $\underline{e_2}$, $\underline{e_3}$). Donc :  

$$\displaystyle{ d \Omega_t= \left\vert \begin{array} {ccc... ...frac{\partial U_3}{\partial x_3} \ \end{array} \right\vert }$$ (13)

On trouve finalement :  

$$\dot{\overline{d \Omega_t}}= \frac{\partial U_i}{\partial x_i}=div \, \underline{U}$$ (14)

D'après ce que nous avons indiqué plus haut, on a donc, de manière générale :  

$$\dot{\overline{d \Omega_t}}=div \, \underline{U}(\underline{x}, t) \, d \Omega_t$$ (15)

qui fournit l'expression eulérienne cherchée.

Ainsi, en particulier, si le matériau constituant le milieu considéré est incompressible, c'est-à-dire que le volume de tout élément reste constant, on obtient une condition sur le champ des vitesses, qui s'écrit :  

$$div \, \underline{U}=0$$ (16)