Conservation de la masse

La condition de conservation de la masse s'exprime par la nullité de la dérivée particulaire de la masse dm d'un volume élémentaire $d \Omega_t$ :  

$$\frac{d}{dt}(dm)=\frac{d}{dt}(\rho \, d \Omega_t)=0$$ (17)

où $\rho(\underline{x}, t)$ désigne la masse volumique.

En développant 1.17 et en utilisant la relation 1.15, on obtient :  

$$\dot{\rho}(\underline{x}, t) + \rho(\underline{x},t) \, div \, \underline{U}(\underline{x}, t)=0$$ (18)

ou encore, en utilisant l'expression de la dérivée particulaire d'une fonction scalaire :  

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ div \, ( \rho \, \underline{U})=0$$ (19)

Cette équation 1.19 peut être obtenue comme conséquence de l'invariance de la masse d'un volume fini quelconque à partir de l'expression de la dérivée particulaire d'une intégrale, que nous verrons plus loin.