Dérivée particulaire d'un élément de surface

Considérons le vecteur aire $\underline{da}$ défini par :  

$$\underline{da}=\underline{n} da$$ (20)

où $\underline{n}$ est la normale unitaire à l'élément d'aire da. Cherchons à calculer la dérivée particulaire de $\underline{da}$, en $\underline{x}$ à l'instant t.

Pour ceci attachons au point $M(\underline{x})$ un vecteur $\underline{V}$ et considérons le volume élémentaire $d \Omega_t$engendré par la translation de da de vecteur $\underline{V}$ :  

$$d \Omega_t= \underline{V} . \, \underline{da}$$ (21)

Les relations 1.15 et 1.7 donnent :  

$$\dot{\overline{d \Omega_t}}= div \,\underline{U} \, \underl... ...) . \, \underline{da} + \underline{V}. \, \dot{\underline{da}}$$ (22)

d'où :  

$$\forall \underline{V}, \quad \underline{V}. \, \dot{\underl... ...\underline{\underline{grad}}\, \underline{U}.\, \underline{da}.$$ (23)

On en déduit la formule cherchée :  

$$\dot{\underline{da}}=div \, \underline{U} \, \underline{da}... ...underline{\underline{grad}} \, \underline{U}. \, \underline{da}$$ (24)